问题
解答题
在数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，当n≥2时，Sn2=an(Sn-
（1）求证{
（2）设bn=
（3）是否存在自然数m，使得对任意自然数n∈N*，都有Tn＜
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答案
（1）证明：∵当n≥2时，Sn2=an(Sn-
)1 2
∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-
)1 2
∴2SnSn-1=Sn-1-Sn
∴2=
-1 Sn 1 Sn-1
∵a1=1，∴
=11 S1
∴{
}是1为首项，2为公差的等差数列，1 Sn
∴
=1+2(n-1)=2n-11 Sn
∴Sn=1 2n-1
∴当n≥2时，an=-2 (2n-1)(2n-3)
∵a1=1，
∴an=
；1，n=1 -
，n≥22 (2n-1)(2n-3)
（2）bn=
=Sn 2n+1
（1 2
-1 2n-1
），1 2n+1
∴Tn=
[1-1 2
+1 3
-1 3
+…+1 5
-1 2n-1
）=1 2n+1
(1-1 2
)=1 2n+1
；n 2n+1
（3）令T（x）=
=x 2x+1
(1-1 2
)，则T（x）在[1，+∞）上是增函数1 2x+1
当x≥1时，
≤T(x)＜1 3
，∴Tn＜1 2 1 2
令
(m-8)≥1 4
，则m≥10，1 2
∴存在自然数m，使得对任意自然数n∈N*，都有Tn＜
(m-8)成立，m的最小值为10．1 4