问题
填空题
设
，则向量场grad u通过球面∑：
向外的通量为______．
答案
参考答案：-4π．
解析：
[分析]： 根据曲面积分的意义，所求通量为[*]gradu·dS，再求该积分即可．
[详解] 由gradu=[*]
得通量为[*]
对于积分[*]
有[*]，当(x,y,z)≠(0,0,0)时．
此时不能直接利用高斯公式．
作曲面∑*：x2+y2+z2=ε2，取外侧，其中ε＞0，并足够地小
使曲面∑*在∑的内部，则有
[*]
因此，所求通量为-4π．
[评注] 利用高斯公式计算曲面积分时要注意条件，并掌握以下结论：设G是单连通区域，P、Q、R在G内除点M外具有一阶连续偏导数且有
[*]
则对于G内的包含点M的任意两张同向光滑闭曲面∑1和∑2，有
[*]