问题
问答题
设三阶实对称矩阵A的特征值为0，1，1，a1，a2是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2．
(1)证明：
；
(2)求方程组Ax=α2的通解．
答案
参考答案：[详解] 如果α1与α2都是A的属于特征值0的特征向量，
则A(α1+α2)=Aα1+Aα2=0，与A(α1+α2)=α2≠0相矛盾．
同理，如果α1与α2都是A的属于特征值1的特征向量，也会出现矛盾．
如果α1是A的属于特征值1的特征向量，α2是A的属于特征值0的特征向量，
则有A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1与A(α1+α2)=α2相矛盾．
所以，α1是A的属于特征值0的特征向量，α2是A的属于特征值1的特征向量．
(1)因为A是对称矩阵，所以，不同特征值所对应的特征向量必正交，有[*]
(2)因为A是对称矩阵，所以存在可逆阵P，使[*]
因为矩阵[*]的秩为2，故A的秩为2，
所以，齐次方程组Ax=0的基础解系包含一个解向量．
又Aα1=0，Aα2=α2，所以α1是齐次方程组Ax=0的基础解系，α2是方程组Ax=α2的一个特解，所以方程组Ax=α2的通解为kα1+α2．
解析：
[分析]： 首先，由特征值与特征向量的定义及A(α1+α2)=α2，可得α1是A的属于特征值0的特征向量，α2是A的属于特征值1的特征向量．其次，利用对称矩阵的性质及线性方程组的解的结构即可得到结论．
[评注] 对于抽象的矩阵，经常利用定义与性质讨论其特征值与特征向量问题．对于抽象的线性方程组，经常利用线性方程组解的性质与结构定理讨论解的问题．