问题
解答题
设函数f(x)=
（1）分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性． （2）在a∈R且a≠0的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明． |
答案
（1）当a=1时，f(x)=
，由1-x2≥0，1-x2 |x+1|+1
∴-1≤x≤1．所以f(x)=1-x2 x+2
∵f(
)=1 2
，f(-3 5
)=1 2
，∴f(3 3
)≠f(-1 2
)，f(1 2
)≠-f(-1 2
)，1 2
∴f（x）为非奇非偶函数． （4分）
（如举其他的反例同样给分）
当a=-2时，f(x)=
，由4-x2≥0，得-2≤x≤2，4-x2 |x-2|-2
所以f(x)=
，x∈[-2，0）∪（0，2]，4-x2 -x
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．（4分）
（2）当a＞0时，f（x）为非奇非偶函数；当a＜0时，f（x）为奇函数．（2分）a＞0时，由a2-x2≥0，得-a≤x≤a，
∴f(x)=
，可以验证：对任意的a＞0，f(a2-x2 x+2a
)≠f(-a 2
)，f(-a 2
)≠-f(a 2
)，a 2
∴f（x）为非奇非偶函数．（如举其他的反例同样给分） （3分）
a＜0时，由a2-x2≥0，得a≤x≤-a，∴f(x)=
，x∈[a，0)∪(0，-a]，a2-x2 -x
并且对定义域中任意的x，f（-x）=-f（x）成立，∴f（x）为奇函数．（3分）