问题
解答题
| 已知数列{an}满足a1=3，an+an-1=4n (n≥2) （1）求证：数列{an}的奇数项，偶数项均构成等差数列； （2）求{an}的通项公式； （3）设bn=
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答案
（1）由an+an-1=4n (n≥2)①，
得an+1+an=4(n+1) (n≥2)②，
②-①得an+1-an-1=4 (n≥2)，
所以数列{an}的奇数项，偶数项均构成等差数列，且公差都为4．
（2）由a1=3，a2+a1=8得a2=5，
故a2n-1=3+4（n-1）=4n-1，a2n=5+4（n-1）=4n+1，
由于a2n-1=4n-1=2（2n-1）+1，a2n=4n+1=2（2n）+1，所以an=2n+1；
（3）bn=
=an 2n
，2n+1 2n
所以Sn=b1+b2+…+bn=
+3 2
+…+5 22
①，2n+1 2n
Sn=1 2
+3 22
+…+5 23
②，2n+1 2n+1
①-②得，
Sn=1 2
+3 2
+2 22
+…+2 23
-2 2n
=2n+1 2n+1
+3 2
-
(1-2 22
)1 2n-1 1- 1 2
=2n+1 2n+1
-5 2
，2n+5 2n+1
所以Sn=5-
；2n+5 2n