问题
解答题
已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
答案
（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，
则
解得a+c=3 a-c=1 a=2 c=1
∴椭圆C的标准方程为
+x2 4
=1．y2 3
（Ⅱ）由方程组
消去y，
+x 2 4
=1y2 3 y=kx+m
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0
由题意：△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0
整理得：3+4k2-m2＞0 ①
设M（x1，y1）、N（x2，y2），
则x1+x2=-
，x1x2=8km 3+4k2 4m2-12 3+4k2
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2=0
即（1+k2）x1x2+（km-2）（x1+x2）+m2+4=0
也即(1+k2)•
+(km-2)•4m2-12 3+4k2
+m2+4=0-8km 3+4k2
整理得：7m2+16mk+4k2=0
解得：m=-2k或m=-
，均满足①2k 7
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），舍去
当m=-
时，直线l的方程为y=k(x-2k 7
)，过定点(2 7
，0)，2 7
故直线l过定点，且定点的坐标为(
，0)．2 7