问题
问答题
已知n阶非零矩阵A1，A2，A3满足
(i=1，2，3)，AiAj=0 (i≠j，i，j=1，2，3)．
证明：Ai(i=1，2，3)的特征值有且仅有1和0；
答案
参考答案：设Aiα=λα，α≠0，i=1，2，3，两边左乘Ai，得
[*]
又因 [*]，有[*]=Aiα=λα，所以λ2α=λα，即(λ2-λ)α=0．因为特征向量α非零，知λ=0或1．故Ai的特征值只能是0或1．
因为AiAj=0，Aj≠0，所以齐次方程组Aix=0有非零解，因此|Ai|=0，故λ=0必是Ai的特征值．
由[*]知(E-Ai)Ai=0，于是齐次方程组(E-Ai)x=0有非零解，得|E-Ai|=0．从而λ=1必是A，的特征值．