问题
问答题
求一个正交变换，化二次型
为标准形．
答案
参考答案：二次型的矩阵是
[*]
其特征多项式为
[*]
所以A的特征值是λ1=λ2=0，λ3=9．
对于λ1=λ2=0，由(0E-A)x=0，即
[*]
得到基础解系α1=(2，1，0)T，α2(-2，0，1)T，即为属于特征值λ=0的特征向量．
对于λ3=9，由(9E-A)x=0，即
[*]
得到基础解系α3=(1，-2，2)T．
由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对α1，α2正交化．
β1=α1=(2，1，0)T，
[*]
把β1，β2，α3单位化，有
[*]
那么经正交变换
[*]
二次型f化为标准形f=[*]
解析：[考点提示] 化二次型为标准型．
