设A为n×n实对称矩阵，证明：r(A) =n的充分必要条件是存在n×n

问题问答题

设A为n×n实对称矩阵，证明：r(A) =n的充分必要条件是存在n×n实矩阵B，使得AB+B^TA正定，其中B^T为B的转置．

答案

参考答案：因为(AB+B^TA)^T=(AB)^T+(B^TA)^T=AB+B^TA，所以AB+B^TA是n阶实对称矩阵．
必要性．若r(A)=n，则A^-1存在，令B=A^-1，则
AB+B^TA=AA^-1+(A^-1)^TA^T=E+AA^-1=2E．
由此可知AB+B^TA正定．
充分性．已知AB+B^TA正定，则[*]且x≠0有
x^T(AB+B^TA)x=(Ax)^TBx+(Bx)^TAx＞0．
由上式可知Ax≠0，这就是说，对任意x≠0，都有Ax≠0，从而Ax=0仅有零解，故r(A)=n．