参考答案：记B=αβ^T，则
[*]
由于α^Tβ=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=2，故a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，b₃不全为0，不妨设a₁≠0，b₁≠0，于是秩r(B)=1，那么
|λE-B|=λ³-(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)λ²=λ³-2λ²．
所以，矩阵B的特征值为λ₁=2，λ₂=λ₃=0．那么矩阵A=E+B的特征值是3，1，1．
由于B²=(αβ^T)(αβ^T)=α(β^Tα)β^T=2αβ^T=2B，对矩阵B按列分块，记B=(y₁，y₂，y₃)，那么由B²=2B，有
B(γ₁，γ₂，γ₃)=2(γ₁，γ₂，γ₃)，即Bγ_i=2γ_i(i=1，2，3)．所以，矩阵B属于特征值λ=2的特征向量是α=(a₁，a₂，a₃)^T．
由(0E-B)x=0，[*]
得到基础解系X₂=(-b₂，b₁，0)^T，X₃=(-b₃，0，b₁)^T．
所以矩阵A属于特征值λ₁=3的特征向量是k₁α(k₁是非0任意常数)，属于特征值λ₂=λ₃=1的特征向量是k₂X₂+k₃X₃(k₂，k₃是不全为0的任意常数)．