问题 问答题

(1)设A,曰均为n阶非零矩阵,且A2+A=B2+B=0,证明λ=-1必是矩阵A与B的特征值;
(2)若AB=BA=0,α与β分别是A与B属于特征值λ=-1的特征向量,证明向量组α,β线性无关.

答案

参考答案:(1)因为(E+A)A=0,A≠0,知齐次方程组(E+A)x=0有非零解,即行列式|E+A|=0,所以λ=-1必是矩阵A的特征值.同理λ=-1也必是矩阵B的特征值.
类似地,由AB=0,B≠0,知行列式|A|=0,所以λ=0必是矩阵A的特征值,同理λ=0也必是矩阵B的特征值.
(2)对于Aα=-α,用矩阵B左乘等式的两端有曰BAα=-Bα,又因BA=0,故
Bα=0=0α.
即α是矩阵B属于特征值λ=0的特征向量.
那么,α与β是矩阵β的不同特征值的特征向量,因而α,β线性无关.

单项选择题
填空题