(1)设A，曰均为n阶非零矩阵，且A2+A=B2+B=0，证明λ=-1必是矩阵A与B

问题问答题

(1)设A，曰均为n阶非零矩阵，且A²+A=B²+B=0，证明λ=-1必是矩阵A与B的特征值；
(2)若AB=BA=0，α与β分别是A与B属于特征值λ=-1的特征向量，证明向量组α，β线性无关．

答案

参考答案：(1)因为(E+A)A=0，A≠0，知齐次方程组(E+A)x=0有非零解，即行列式|E+A|=0，所以λ=-1必是矩阵A的特征值．同理λ=-1也必是矩阵B的特征值．
类似地，由AB=0，B≠0，知行列式|A|=0，所以λ=0必是矩阵A的特征值，同理λ=0也必是矩阵B的特征值．
(2)对于Aα=-α，用矩阵B左乘等式的两端有曰BAα=-Bα，又因BA=0，故
Bα=0=0α．
即α是矩阵B属于特征值λ=0的特征向量．
那么，α与β是矩阵β的不同特征值的特征向量，因而α，β线性无关．