问题
解答题
| 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足如下三个条件：①对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）； ②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1 （1）计算f（9），f(
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为减函数； （3）有集合A={（x0，y0）|f（x02+1）-f（5y0）-2＞0，x0，y0∈（0，+∞）}，B={(x0，y0)|f(
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答案
（1）∵对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）∴f（9）=2f（3）=-2；f（3）=2f（
）=-1，∴f（3
）=-3 1 2
（2）设任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，且
=t （t＞1）y x
则f（x）-f（y）=f（x）-f（tx）=f（x）-f（x）-f（t）=-f（t）
∵当x＞1时，f（x）＜0，∴-f（t）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
（3）依题意可得f（1）=0，f（
）=1，f（1 3
）=21 9
f（x02+1）-f（5y0）-2＞0⇔f（x02+1）＞f（5y0）+2=f（5y0）+f（
）=f（1 9
y0）⇔x02+1＜5 9
y0）①5 9
f(
)+x0 y0
=0⇔f(1 2
)+f(x0 y0
)=0⇔f（3 3
）=f（1）⇔
x03 3y0
=1②
x03 3y0
将②代入①得27x02-5
x0+27＜03
此不等式无解
故不存在（x0，y0）使（x0，y0）∈A∩B