参考答案：证法一 (用定义) 因为E-AB可逆，故存在可逆矩阵C，使得
(E-AB)C=C(E-AB)=E．
于是有 C-ABC=C-CAB=E， 即 C-E=ABC=CAB．
那么 (E-BA)(E+BCA)=E+BCA-BA-BABCA
=E+B(C-E)A-B(C-E)A=E．
所以，E-BA可逆，且(E-BA)^-1=E+BCA=E+B(E-AB)^-1A．
证法二 (用反证法) 若矩阵E-BA不可逆，则行列式|E-BA|=0，那么齐次线性方程组(E-BA)X=0必有非零解，设其为η，于是 (E-BA)η=0，即BAη=η≠0．
从而 Aη≠0．但由 (E-AB)Aη=Aη-ABAη=Aη-A(BAη)=Aη一Aη=0，得知Aη是齐次方程组(E-AB)x=0的非零解，故有系数行列式|E-AB|=0，这与已知E-AB可逆相矛盾．所以E-BA可逆．
证法三 (用特征值)
设λ₀是矩阵AB的非零特征值，α是矩阵AB属于特征值λ₀的特征向量，则
ABα=λ₀α，α≠0． ①
用矩阵B左乘上式，得
BA(Bα)=λ₀(Bα)． ②
若Bα=0，将其代入①式，有
λ₀α=A(Bα)=A0=0．
这与λ₀≠0，α≠0相矛盾．所以必有Bα≠0，那么按定义从②式知Bα是矩阵BA属于特征值λ₀的特征向量．
对称地，若μ是矩阵BA的非零特征值，则μ也必是矩阵AB的非零特征值．所以矩阵AB与BA的非零特征值是完全一样的．
现已知矩阵E-AB可逆，即行列式|E-AB|≠0即λ=1不是矩阵AB的特征值，当然λ=1也就不是矩阵BA的特征值，即|E-BA|≠0，故矩阵E-BA可逆．

解析：评注 若λ=0是矩阵AB的特征值，你能否证明λ=0也是矩阵BA的特征值还能得到什么