参考答案：[*]

解析：化简矩阵方程 XA-AXA=AB-ABA，得(E-A)XA=AB(E-A)．因为A，E-A均可逆，故
X=(E-A)^-1AB(E-A)A^-1=(A^-1-E)^-1B(A^-1-E)．
那么X³=(A^-1-E)^-1B³(A^-1-E)．
因为秩r(B)=1，有B²=2B．从而得B³=2²B=4B．于是
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评注 本题把矩阵方程与方幂相结合，在Aⁿ的计算中又涉及秩r(A)=1及P^-1AP=B两种基本方法．
在化简矩阵方程时，由A可逆，有
(E-A)^-1A=(E-A)^-1(A^-1)^-1=A^-1(E-A)^-1=(A^-1-E)^-1从而有P^-1AP的形式．