问题
解答题
已知函数f（x）=x2+2x+alnx．
（Ⅰ）若a=-4，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．
答案
（Ⅰ）由题意得，f(x)=x2+2x-4lnx⇒f′(x)=2x+2-
．由函数的定义域为x＞0，4 x
∴f'（x）＞0⇒x＞1，f'（x）＜0⇒0＜x＜1．∴函数f（x）有极小值f（1）=3．
（Ⅱ）∵f（x）=x2+2x+alnx，
∴f(2t-1)≥2f(t)-3⇒2t2-4t+2≥2alnt-aln(2t-1)=aln
．t2 2t-1
当t≥1时，t2≥2t-1，∴ln
≥0．即t＞1时，a≤t2 2t-1
恒成立．又易证ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，2(t-1)2 ln t2 2t-1
∴ln
=ln[1+t2 2t-1
]≤(t-1)2 2t-1
＜(t-1)2在t＞1上恒成立．当t=1时取等号，∴当t≥1时，ln(t-1)2 2t-1
≤(t-1)2，∴由上知a≤2．故实数a的取值范围是（-∞，2]．t2 2t-1