问题 解答题

(1)试用ε-δ语言叙述“函数f(x)在点x=x0处连续的定义;

(2)试证明:若f(x)在点x=x0处连续,且f(x0)>0,则存在一个x0的(x0-δ,x0+δ),在这个邻域内,处处有f(x)>0.

答案

(1)若对于任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得当|x-x0|<δ时,

总有|f(x)-f(x0)|<ε,则称函数f(x)在点x0处连续;

(2)证:由已知f(x)在点x=x0处连续,

且f(x0)>0,

所以,由定义,对于给定的ε=

f(x0)
2
>0,

必存在δ>0,当|x-x0|<δ时,

有|f(x)-f(x0)|<

f(x0)
2

从而f(x)>f(x0)-

f(x0)
2
=
f(x0)
2
>0

即在(x0-δ,x0+δ)内处处有f(x)>0.

单项选择题
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