问题
解答题
(1)试用ε-δ语言叙述“函数f(x)在点x=x0处连续的定义;
(2)试证明:若f(x)在点x=x0处连续,且f(x0)>0,则存在一个x0的(x0-δ,x0+δ),在这个邻域内,处处有f(x)>0.
答案
(1)若对于任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得当|x-x0|<δ时,
总有|f(x)-f(x0)|<ε,则称函数f(x)在点x0处连续;
(2)证:由已知f(x)在点x=x0处连续,
且f(x0)>0,
所以,由定义,对于给定的ε=
>0,f(x0) 2
必存在δ>0,当|x-x0|<δ时,
有|f(x)-f(x0)|<
,f(x0) 2
从而f(x)>f(x0)-
=f(x0) 2
>0f(x0) 2
即在(x0-δ,x0+δ)内处处有f(x)>0.