问题
问答题
设A为n阶正定矩阵，B为n×m矩阵，试证：
(Ⅰ)r(B)=r(BTAB)：
(Ⅱ)BTAB正定的充分必要条件为r(B)=m．
答案
参考答案：(Ⅰ)由设，A为正定阵，故存在可逆阵P，使A=PTP，于是有
r(BTAB)=r(BTPB)=r(PB)T(PB)]
=r(PB)=r(B)．
(Ⅱ)必要性：设BTAB为正定阵，由定义，[*]X=[x1，x2，…，xn]T≠0，有
XTBTABX=(BX)TABX＞0．
故[*]X≠0，有BX≠0，因此，Bn×m的列向量组线性无关，即r(B)=m．
充分性：设r(B)=m，B的列向量组线性无关，[*]X=[x1，x2，…，xn]T≠0，都有BX≠0，由A为正定阵，
故V[*]X≠0，XTBTABX=(BX)TA(BX)＞0．
因此，BTAB为正定阵．
解析：
[分析]： (I)利用r(ATA)-r(A)，r(PB)=r(B)，P为可逆阵．
(Ⅱ)利用正定阵的概念．