问题 解答题
函数f (x) 对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f (1)=0.
(Ⅰ)求f (0)的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅲ)当x∈(0,
1
2
)
时,f (x)+2<logax恒成立,试求实数a的取值范围.
答案

(Ⅰ)∵函数f (x) 对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立

∴令x=1,y=0,f(1+0)-f(0)=1(1+2×0+1)⇒f(0)=-2…(3分)

(Ⅱ)令 y=0,可得  f(x)=x2+x-2…(5分)

(Ⅲ)f (x)+2<logax即  x2+x<logax

x∈(0,

1
2
),所以x2+x>0,

当a>1时,logax<0,说明a>1不合题意.…(7分)

设h(x)=x2+x-logax(0<x<

1
2
,0<a<1),即h(x)<0恒成立

因为h(x)=2x+1-

1
xlna

0<x<

1
2
,0<a<1时,h'(x)>0恒成立…(9分)

所以 h(x)是增函数,有 h(x)<h(

1
2
)=
3
4
-loga
1
2
…(11分)

只需 

3
4
-loga
1
2
≤0恒成立,解得  a≥2-
4
3

所以实数a的取值范围是 a≥2-

4
3
…(14分)

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