问题
解答题
函数f (x) 对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f (1)=0. (Ⅰ)求f (0)的值; (Ⅱ)求函数f(x)的表达式; (Ⅲ)当x∈(0,
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答案
(Ⅰ)∵函数f (x) 对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立
∴令x=1,y=0,f(1+0)-f(0)=1(1+2×0+1)⇒f(0)=-2…(3分)
(Ⅱ)令 y=0,可得 f(x)=x2+x-2…(5分)
(Ⅲ)f (x)+2<logax即 x2+x<logax
又x∈(0,
),所以x2+x>0,1 2
当a>1时,logax<0,说明a>1不合题意.…(7分)
设h(x)=x2+x-logax(0<x<
,0<a<1),即h(x)<0恒成立1 2
因为h′(x)=2x+1-1 xlna
当0<x<
,0<a<1时,h'(x)>0恒成立…(9分)1 2
所以 h(x)是增函数,有 h(x)<h(
)=1 2
-loga3 4
…(11分)1 2
只需
-loga3 4
≤0恒成立,解得 a≥2-1 2 4 3
所以实数a的取值范围是 a≥2-
…(14分)4 3