问题
问答题
设A3×3=[α1,α2,α3],方程组AX=β有通解kξ+η=k[1,2,-3]T+[2,-1,1]T,其中k是任意常数.
证明方程组(α1,α2)X=β有唯一解,并求该解.
答案
参考答案:由题设条件:(α1,α2,α3)X=β有通解k[1,2,-3]T+[2,-1,1]T知
r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,β)=2, (*)
α1+2α2-3α3=0, (**)
β=(k+2)α1+(2k-1)α2+(-3k+1)α3. (***)
其中k是任意常数.
由(**)式得[*],知α1,α2线性无关(若α1,α2线性相关,又α3=[*],得r(α1,α2,α3)=1,这和关系式(*)矛盾).由(*)知α1,α2是向量组α1,α2,α3及α1,α2,α3,β的极大线性无关组,从而有r(α1,α2)=r(α1,α2,β)=2.方程组(α1,α2)X=β有唯一解.
由(***)式取α3的系数-3k+1=0,即取[*],得(α1,α2)X=β的唯一解为β=[*],即唯一解[*].