问题
填空题
设f(x)有任意阶导数，且f’(x)=[f(x)]2，f(0)=2，n≥2，则f(n)(0)=______．
答案
参考答案：n!2n+1
解析：因为f’(x)=f2(x)，所以f"(x)=2f(x)f’(x)=2f3(x)，f’"(x)=3×2×f2(x)f’(x)=3×2×1f4(x)，f(4)(x)=4×3×2×1×f5(x)，…．由数学归纳法可证得f(n)(x)=n!fn+1(x)，所以f(n)(0)=n!fn+1(0)=n!2n+1．