下列四个命题中正确的是
(A) 设x0∈(a，b)，函数f’(x)满足f’(x)＞0(0＜x＜x0)和f’(x)＜0(x0＜x＜b)，则f(x)
在点x=x0处取得它在(a，b)上的最大值．
(B) 设f(x)在点x=x0取得极大值，则存在正数δ＞0，使函数f(x)在(x0-δ，x0)中单调增加，在(x0，x0+δ)中单调减少．
(C) 设f(x)在区间(-a，a)内为偶函数(其中a＞0是一个常数)，则x=0必是f(x)的一个极值点．
(D) 设f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数(其中a＞0是一个常数)，则f’(0)=0．
参考答案：D
解析： 因为f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数，故f’(x)在(-a，a)内必为奇函数，即[*]∈(-a，a)有f’(-x)=-f’(x)．特别对x=0有f’(0)=-f’(0)[*]f’(0)=0．故应选(D)．其他三个命题均不正确．
(A)不正确：条件中缺f(x)在x=x0处连续．例如：
[*]
尽管f’(x)=1当-1＜x＜0成立，f’(x)=-1当0＜x＜1成立，但当0＜|x|＜1时都有f(0)=-1＜f(x)．这表明f(0)并不是f(x)在(-1，1)上的最大值．
(B)不正确：函数f(x)在x=x0取极值与它在x=x0两侧附近单调并无必然联系．例如：
[*]
因[*]，故f(0)是f(x)的极大值，但
[*]
[*]
由此可见，无论取正数δ多么小，在(-δ，0)与(0，δ)中导函数f’(x)总要无穷多次变号，即f(x)不可能在这样的区间中单调．
(C)也不正确：考察函数
[*]
尽管f(x)是(-∞，+∞)上的偶函数，但无论δ是多么小的正数，在区间(-δ，δ)中f(x)总要变号，即f(0)不是f(x)的极值，亦即点x=0不是f(x)的极值点．