参考答案：[证法一] 不等式可改写为ae^a(e^b-e^a)＜be^b(e^b-e^a)，因b＞a＞0时e^b＞e^a，从而又可改写为等价形式ae^a＜be^b．把b改写为x，引入函数f(x)=xe^x，即需证f(x)＞f(a)当x＞a＞0时成立．
因为f’(x)=(x+1)e^x＞0当x＞0时成立，从而f(x)在区间[a，+∞)(a＞0)上单调增加，故当x＞a时f(x)＞f(a)成立，即原不等式成立．
[证法二] 引入函数g(x)=xe^2x，则原不等式可改写成
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当y=g(x)在区间[a，b]上是凹弧时，显然上式成立(如图8-1)．注意
g"(x)=4(1+x)e^2x＞0(x＞0)，
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这表明当b＞a＞0时曲线y=g(x)在[a，b]上确为凹弧，故原不等式成立．