参考答案：[证明] 因ξ∈(0，1)，故
[*]
其中p(x)＞0，[*]
若函数p(x)还满足[*]时成立，则要证的结论[*][p(x)f(x)]’在(0，1)内有零点．
这启发我们考虑辅助函数F(x)=p(x)f(x)，其中p(x)满足
[*]
可取lnp(x)=2x+lnx，即 p(x)=xe^2x．
由题设知F(x)=xe^2xf(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=0，F(1)=e²f(1)=0，即F(x)在[0，1]上满足罗尔定理的全部条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使F’(ξ)=(e^2ξ+2(e^2ξ)f(ξ)+ξe^2ξf’(ξ)=e^2ξ[(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)]=0，从而(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0．