问题
问答题
设函数f(x)在(-∞，+∞)三阶可导，且存在正数M，使得|f(x)|≤M，[*]对[*]成立．求证：f’(x)，f"(x)在(-∞，+∞)有界．
答案
参考答案：[分析与证明] 将f(x+1)与f(x-1)分别在点x展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式得
[*] ①
[*] ②
为估计|f’(x)|的大小，将上面两式相减并除以2即得
[*]
于是 [*]
[*]
即|f’(x)在(-∞，+∞)有界．
为估计|f"(x)|的大小，由①+②就有
[*]
于是 [*]
[*]
即f"(x)在(-∞，+∞)有界．