问题
问答题
已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，并且α=(1，2，-1)T满足Aα=2α．
(Ⅰ)求该二次型表达式；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；
(Ⅲ)若A+kE正定，求k的值．
答案
参考答案：[解] (Ⅰ)据已知条件，有
[*]
即[*]解出a12=2，a13=2，a23=-2，
所以 xTAx=4x1x2+4x1x3-4x2x3．
(Ⅱ)由[*]
得矩阵A的特征值为2，2，-4．
由(2E-A)X=0，[*]
得λ=2的特征向量 α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T；
由(-4E-A)x=0，[*]
得λ=-4的特征向量α3=(-1，1，1)T．
将α1，α2正交化．令β1=α1，则
[*]
再对β1，β2，α3单位化，有
[*]
那么令[*]
[*]
(Ⅲ)因为A+kE的特征值为k+2，k+2，k-4，所以当k＞4时，矩阵A+kE正定．