（1）文：当a=1，c=

1

2

时，f(x)=x2+bx+

1

2

，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，

∵f(

1

2

)=0，设另一个根为x₂，则

1

2

x2=

1

2

，∴x₂=1，（2分）

则 f（x）＜0的解为  

1

2

＜x＜1．（4分）

（2）理：f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，

设另一个根为x₂，则cx2=

c

a

∴x2=

1

a

（2分）

又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

1

a

＞c，则f（x）＜0的解为c＜x＜

1

a

（4分）

（3）f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，

设另一个根为x₂，则cx2=

c

a

∴x2=

1

a

又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

1

a

＞c，则三交点为(c，0)，(

1

a

，0)，(0，c)（6分）

这三交点为顶点的三角形的面积为S=

1

2

(

1

a

-c)c=8，（7分）

∴a=

c

16+c2

≤

c

2 16 c

=

1

8

故a∈(0，  

1

8

]．（10分）

（4）当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

1

a

＞c，

∴f（x）在[0，c]上是单调递减的，且在x=0处取到最大值1，（12分）

要使f（x）≤m²-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，必须f（x）_max=1≤m²-2km+1成立，（14分）

必m²-2km≥0，令g（k）=-2km+m²，

对所有k∈[-1，1]，g（k）≥0恒成立，只要

g(1)≥0 g(-1)≥0

，即

m2-2m≥0 m2+2m≥0

（16分）

解得实数m的取值范围为  m≤-2或m=0或m≥2．（18分）

或者按m＜0，m=0，m＞0分类讨论，每一类讨论正确得（2分），结论（2分）．