问题
解答题
| 已知f （x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足f（a•b）=af（b）+bf（a）． （1）求f（0），f（1）的值； （2）判断f （x）的奇偶性，并证明你的结论； （3）若f(
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答案
（1）令a=b=0，得f（0）=0•f（0）+0•f（0）=0．
令a=b=1，得f（1）=1•f（1）+1•f（1），∴f（1）=0．（2分）
（2）令a=b=-1，得f（1）=f[（-1）•（-1）]=-f（-1）-f（-1）=-2f（-1），∴f（-1）=0．
令a=-1，b=x，得f（-x）=f（-1•x）=-1•f（x）+x•f（-1）=-f（x）+0=-f（x）．∴f（x）是奇函数．（5分）
（3）当ab≠0时，
=f(a•b) a•b
+f(b) b
．f(a) a
令g(x)=
，则g(a•b)=g(a)+g(b)，∴g（an）=ng（a）．（7分）f(x) x
∴f（an）=an•g（an）=n•an•g（a）=n•an-1•f（a）．
∵f(1)=f(2•
)=2f(1 2
)+1 2
f(2)=0，f(1 2
)=-1 2 1 2
∴f（2）=2，
∴bn=
=2n f(2n)
（9分）1 n
∴Sn=1+
+1 2
+…+1 3
，1 n
∴Sn-Sn-1=
(n≥2)1 n
即nSn-（n-1）Sn-1=Sn-1+1，（11分）
∴（n-1）Sn-1-（n-2）Sn-2=Sn-2+1，…，2S2-S1=S1+1，
∴nSn-S1=S1+S2+…+Sn-1+n-1，
∴S1+S2+…Sn-1=nSn-n=（Sn-1）•n（n≥2）
∴g（n）=n．
故存在关于n的整式g （n）=n，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立 （13分）