（1）∵z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi

∴z₁•z₂=[log₂（2^x+1）+ki]•（1-xi）

=[log₂（2^x+1）+kx]+[k-x•log₂（2^x+1）+ki]i（2分）

f（x）=Re（z₁•z₂）=log₂（2^x+1）+kx（2分）

（2）设定义域R中任意实数，由函数f（x）是偶函数

得：f（-x）=f（x）（4分）

log₂（2^x+1）-kx=log₂（2^x+1）+kx

2kx=log₂（

2-x-1

2x+1

）=-x

（2k+1）x=0

得：k=-

1

2

（8分）

证明：（3）由（2）得：f（x）=log₂（2^x+1）-

1

2

x

联立方程：y=log₂（2^x+1）-

1

2

x和y=

1

2

x+m

得：log₂（2^x+1）-

1

2

x=

1

2

x+m （10分）

即m=log₂（2^x+1）-x

log₂（2^x+1）=x+m=log₂2^（x+m）

得：2^x+1=2^（x+m）

2^x•（2^m-1）=1（11分）

若 m=0   方程无解（12分）

若 m＜0，2^m-1＜0，2^x＜0方程无解（13分）

若m＞0  2^x=

1

2m-1

x=log₂

1

2m-1

方程有唯一解（14分）

对任意实数m，函数y=f（x）的图象与直线y=

1

2

x+m的图象的交点最多只有一个．（15分）