问题
解答题
设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d，（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-
（Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使两点处的切线互相垂直？试证明你的结论； （Ⅲ）若x1，x2∈[-1，1]，求证：|f(x1)-f(x2)|≤
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答案
（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0
所以f（x）=ax3+cx，因此f'（x）=3ax2+c
由题意得
，f(1)=a+c=- 1 3 f′(1)=3a+c=0
解得a=
，c=-1 6 1 2
（II）不存在．
证明：假设存在x1，x2，则f'（x1）•f'（x2）=-1
所以（x12-1）（x22-1）=-4
因为x1，x2∈[-1，1]所以x12-1，x22-1∈[-1，0]
因此（x12-1）（x22-1）≠-4
所以不存在．
（III）证明：f′(x)=
x2-1 2 1 2
由f′(x)=
x2-1 2
=0得x=±1fmin(x)=f(1)=-1 2
，fmax(x)=f(-1)=1 3 1 3
所以|f(x1)-f(x2)|≤fmax(x)-fmin(x)=f(-1)-f(1)=
＜2 3 4 3
