问题
解答题
| 定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10x． （Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式； （Ⅱ）求函数f（x）的反函数； （Ⅲ）证明：g（x1）+g（x2）≥2g（
*（Ⅳ）试用f（x1），f（x2），g（x1），g（x2）表示f（x1-x2）与g（x1+x2）． |
答案
（Ⅰ）由题意可得：f（x）+g（x）=10x ①，
∴f（-x）+g（-x）=10-x，
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∴-f（x）+g（x）=10-x ②，
由①，②解得：f（x）=
（10x-1 2
），g（x）=1 10x
（10x+1 2
）．1 10x
（Ⅱ）由（I）可得：f（x）=y=
（10x-1 2
），1 10x
∴（10x）2-2y⋅10x-1=0，解得10x=y±
，y2+1
∵10x＞0，
∴10x=y+
，y2+1
∴x=lg（y+
），y2+1
∴f（x）的反函数为f-1（x）=lg（x+
）．x∈R．x2+1
（Ⅲ）证明：由（I）可得：2g（
）=10x1+x2 2
+x1+x2 2
；1 10 x1+x2 2
并且得到g（x1）+g（x2）=
（10x1+1 2
）+1 10x1
（10x2+1 2
）=1 10x2
（10x1+10x2）+1 2
（1 2
+1 10x1
）1 10x2
≥
•21 2
+10x1•10x2
•2 1 2
=101 10x1•10x2
+x1+x2 2
=2g（1 10 x1+x2 2
）；x1+x2 2
∴g（x1）+g（x2）≥2g（
）．x1+x2 2
（Ⅳ）由（I）可得：f（x1-x2）=f（x1）g（x2）-g（x1）f（x2），g（x1+x2）=g（x1）g（x2）-f（x1）f（x2）．