问题
问答题
设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤C．
答案
参考答案：当a=0时，f(0)=0，有f(a+b)=f(b)=f(a)+f(b)；
当a＞0时，在[0，a]和[b，a+b]上分别应用拉格朗日中值定理有
[*]
显然0＜ε1＜a≤b<ε2＜a+b≤c．因f’(x)在[0，c]上单调减少，故f’(ε2)≤f’(ε1)，从而有
[*]
因为a＞0，所以有
f((a+b)≤f(a)+f(b)．
总之，当0≤a≤b≤a+b≤c时，
f(a+b)≤f(a)+f(b)
总成立．
解析：[考点提示] 在[0，a]与[b，a+b]上分别应用拉格朗日中值定理．