问题
解答题
已知函数f(x)=log
（1）求它的定义域和值域； （2）求它的单调区间； （3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期． |
答案
（1）由题意得sinx-cosx＞0即
sin(x-2
)＞0，从而得2kπ＜x-π 4
＜ 2kπ+π，π 4
∴函数的定义域为(2kπ+
，2kπ+π 4
)（k∈Z）．5π 4
∵0＜sin(x-
)≤1，π 4
故0＜sinx-cosx≤
，所以函数f（x）的值域是[-2
，+∞)．1 2
（2）∵(sinx-cosx)=
sin(x-2
)π 4
令2kπ-
≤x-π 2
≤2kπ+π 4
解得2kπ-π 2
≤x≤2kπ+π 4 3π 4
令2kπ+
≤x-π 2
≤2kπ+π 4
解得2kπ+3π 2
≤x≤2kπ+3π 4 7π 4
结合函数的定义域知
单调递增区间是[2kπ+
，2kπ+3π 4
)（k∈Z），5π 4
单调递减区间是(2kπ+
，2kπ+π 4
)（k∈Z）．3π 4
（3）因为f（x）定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，
故f（x）是非奇非偶函数．
（4）∵f(x+2π)=log
[(sin(x+2π)-cos(x+2π)]=f（x），1 2
∴函数f（x）的最小正周期T=2π．