问题
问答题
设总体X的概率密度为
其中θ(0＜θ＜1)是未知参数．X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．记N为样本值x1，x2…，xn中小于1的个数．求：
(Ⅰ) θ的矩估计；
(Ⅱ) θ的最大似然估计．
答案
参考答案：(Ⅰ)本题中被估计参数θ是总体期望u的线性函数，应用样本均值的同一线性函数作为θ的矩估计．
[*]
则[*]，所以θ的矩估计为
[*]
(Ⅱ) 求最大似然估计，先要写出其似然函数．因为总体X是连续型随机变量，所以其似然函数是(X1，X2，…，Xn)的联合概率密度．
因为已知N为样本值x1，x2，…，xn中小于1的个数，即样本值x1，x2，…xn中有N个小于1，其余n-N个大于或等于1，所以似然函数为
L=θN(1-θ)n-N，
从而有
[*]
令[*]所以θ的最大似然估计为[*]
解析：[考点提示] 矩估计、最大似然估计．