问题
解答题
已知函数f（x）=logax和g（x）=2loga（2x+t-2），（a＞0，a≠1，t∈R）的图象在X=2处的切线互相平行．
（1）求T的值；
（2）设F（x）=g（x）-f（x），当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，求A的取值范围．
答案
（I）∵f′(x)=
logae，g′(x)=1 x
logae（3分）4 2x+t-2
∵函数f（x）和g（x）的图象在X=2处的切线互相平行，
∴f'（2）=g'（2）（5分）
∴
logae=1 2
logae，4 2×2+t-2
∴t=6（6分）
（II）∴F（x）=g（x）-f（x）=2loga（2x+4）-logax=loga
，x∈[1，4](2x+4)2 x
令 h(x)=
=4x+(2x+4)2 x
+16，x∈[1，4]∵h′(x)=4-16 x
=16 x2
，x∈[1，4]4(x-2)(x+2) x2
∴当1≤x＜2时，h′（x）＜0，
当2＜x≤4时，h′（x）＞0．h（x）在[1，2）是单调减函数，在（2，4]是单调增函数．（9分）
∴h（x）min=h（2）=32，∴h（x）max=h（1）=h（4）=36
∴当0＜a＜1时，有F（x）min=loga36，当a＞1时，有F（x）min=loga32．
∵当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，∴F（x）min≥2（10分）
∴满足条件的a的值满足下列不等式组
；①，或 0＜a＜1 loga36≥2
②a＞1 loga32≥2.
不等式组①的解集为空集，解不等式组②得 1＜a≤42
综上所述，满足条件的 a的取值范围是：1＜a≤4
．（12分）2