问题
问答题
设f(x)在(-∞，+∞)上存在二阶导数，f(0)＜0，f’(0)=a，f"(x)＞0．
证明：
1.无论a＞0，a＜0，还是a=0，f(x)至多有两个零点，至少有一个零点；
答案
参考答案：方法1 由(Ⅰ)已证，在区间(-∞，0)或(0，+∞)上正好有一个零点．所以若共有两个零点，则必反号．
方法2 用反证法，设f(x)有两个零点x1与x2，它们同号，不妨设0＜x1＜x2．在区间[0，x1]与[x1，x2]分别用拉格朗日中值定理，有
f(x1)-f(0)=f’(ξ1)x1， (*)
f(x2)-f(x1)=f’(ξ2)(z2-x1)． (**)
由(*)有f’(ξ1)＞0，由(**)有f’(ξ2)=0，得f’(ξ1)＞f(ξ2)，但ξ1＜ξ2，与f"(x)＞0矛盾．所以x1与x2必反号．