问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）当x1＞0，x2＞0且f（x1）•f（x2）=1时，求证：x1•x2≥3+2
（2）若数列{an}满足a1=1an＞0an+1=f（an）（n∈N*）求数列{an}的通项公式． |
答案
（1）证明：∵x1＞0，x2＞0，f（x1）•f（x2）=1，
∴
•x12 2x1+1
=1，…（2分）x22 2x2+1
∴(x1x2)2=(2x1+1)(2x2+1)
=4x1x2+2（x1+x2）+1
≥4x1x2+4
+1x1x2
=（2
+1）2．…（4分）x1x2
∴x1x2≥2
+1，x1x2
∴(
-1)2≥2，x1x2
∴
-1≥ x1x2
，或2
-1≤-x1x2
（舍去）．2
∴
≥x1x2
+1，2
∴x1x2≥(
+1)2=3+22
．…（6分）2
（2）解法一：∵a1=1，an＞0，an+1=f(an)=
，an2 2an+1
∴
=1 an+1
=2an+1 an2
+2 an
=(1+1 an2
)2-1，1 an
∴1+
=(1+1 an+1
)2．…（8分）1 an
∴lg(1+
)=lg(1+1 an+1
)2=2lg(1+1 an
)．…（10分）1 an
∴数列{lg(1+
)}是首项为lg（1+1 an
）=lg2，公比为2的等比数列．1 a1
∴lg(1+
)=2n-1•lg2=lg22n-1．…（12分）1 an
∴1+
=22n-1，1 an
∴an=
．…（14分）1 22n-1-1
解法二：∵a1=1，an＞0，an+1=f(an)=
，an2 2an+1
∴
=an+1 1+an+1
=an2 2an+1 1+ an2 2an+1
=(an2 an2+2an+1
)2，…（8分）an 1+an
∴lg(
)=lg(an+1 1+an+1
)2=2lg(an 1+an
)．…（10分）an 1+an
∴数列{lg(
)}是首项为lg(a n 1+an
)=lga1 1+a1
，公比为2的等比数列．1 2
∴lg(
)=2n-1•lgan 1+an
=lg(1 2
)2n-1，…（12分）1 2
∴
=(an 1+an
)2n-1，1 2
∴an=
．…（14分）1 22n-1-1