问题
问答题
已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量．
(Ⅰ) 证明：X，AX线性无关．
(Ⅱ) 若A2X+AX-6X=0，求A的特征值，并讨论A可否相似对角化．
答案
参考答案：(Ⅰ)设X，AX线性相关，即存在不全为零的k1，k2，使得k1X+k2AX=0．如果k2=0，由于X≠0，得k1=0，所以k2≠0，且有[*]，即X是A的特征向量，出现矛盾，所以X，AX线性无关．
(Ⅱ)由A’X+AX-6X=0，得(A+3E)(A-2E)X=0，由于X≠0，所以矩阵(A+3E)(A-2E)不可逆．
如果(A+3E)可逆，则(A-2E)X=0，即AX-2X=0，此与X，AX线性无关矛盾，所以(A+3E)不可逆．同理，矩阵(A-2E)也不可逆．
所以有|A+3E|=0，|A-2E|=0，即-3，2是矩阵A的特征值．因为A有两个不同的特征值，所以A可对角化．
解析：
[分析]： 二阶方阵A能否对角化，关键是能否找到两个线性无关的特征向量或是否具有两个相异的特征根．