问题
解答题
已知函数f（x）=ax3+bx+c为R上的奇函数，且当x=1时，有极小值-1；函g(x)=-
（1）求函数f（x）的解析式； （2）若对于任意x∈[-2，2]，恒有f（x）＞g（x），求t的取值范围． |
答案
（1）由f（-x）=-f（x）得：c=0，
由
⇒f′(1)=3a+b=0 f(1)=a+b=-1 a= 1 2 b=- 3 2
∴f(x)=
x3-1 2
x3 2
经检验在x=1时，f（x）有极小值-1，
∴f(x)=
x3-1 2
x3 2
（2）设h(x)=f(x)-g(x)=x3-3x-t+
，则h'（x）=3x2-3，3 t
令h'（x）=3x2-3＞0得x＞1或x＜-1，
令h'（x）=3x2-3＜0得-1＜x＜1
所以h（x）在区间[-2，-1]及[1，2]上的增函数，在区间[-1，1]上的减函数，
∴h(x)min=min{h(-2)，h(1)}=h(1)=-2-t+3 t
使对于任意x∈[-2，2]，恒有f（x）＞g（x），则h(1)=-2-t+
＞03 t
解得t＜-3或0＜t＜1∴t∈（-∞，-3）∪（0，1）
