已知二次函数f（x）=x2+bx+c（x∈R），同时满足以下条件：①存在

问题解答题

已知二次函数f（x）=x²+bx+c（x∈R），同时满足以下条件：
①存在实数m，使得f（m）=0，且对任意实数x，恒有f（x）≥0成立；
②存在实数k （k≠0），使得f（1-k）=f（1+k）成立．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=f（n），数列{b_n}满足关系式bn=an+2+

，问数列{b_n}中是否存在不同的3项，使之成为等比数列？若存在，试写出任意符合条件的3项；若不存在，请说明理由．

答案

（1）由①得，二次函数有最小值0，故

4c-b2

=0（2分）

二次函数的对称轴为直线x=1，故-

=1，（4分）

即b=-2，c=1f（x）=x²-2x+1

（6分）

（2）S_n=n²-2n+1（n∈N^*）∴an=

2n-3

n=1

n≥2，n∈N*

（2分）

∴bn=

2n-1+

n=1

n≥2，n∈N*

（4分）

设数列的p、q、r（p＜q＜r）项使得b_p、b_q、b_r成等比数列．

（ⅰ）若p=1时，b1=2+

bq=(2q-1)+

，br=(2r-1)+

则b_q²=b₁•b_r∴[(2q-1)+

]2=(2+

)[(2r-1)+

]∴(2q-1)2+2+2

(2q-1)=2(2r-1)+2+(2r-1)•

∴

(2q-1)2+2=4r-2+2

2(2q-1)=2r-1+2

⇒

(2q-1)2+2=4r

4q-2=2r+1

①②

由于②式左边为偶数，右边为奇数，显然q、r不存在．（3分）

（ⅱ）若1＜p＜r＜q，p、q、r∈N^*

则[(2q-1)+

]2=(2p-1+

)(2r-1+

)∴(2q-1)2+2+2

(2q-1)=(2p-1)(2r-1)+2+(2p-1+2r-1)

∴

(2q-1)2=(2q-1)(2r-1)

2(2q-1)=2p+2r-2

⇒p+r=2q⇒（p+r-1）²=（2p-1）（2r-1）⇒（p-r）²=0

∴p=r产生矛盾（7分）

综上所述，这样的三项不存在．（8分）