问题
解答题
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：对任意实数x都有f（x）≥2x；且当0＜x＜2时，总有f(x)≤
（1）求f（1）的值； （2）求f（-1）的取值范围． |
答案
（1）∵对任意实数x都有f（x）≥2x，
∴f（1）≥2．
∵当0＜x＜2时，总有f(x)≤
(x+1)2成立，1 2
∴f（1）≤
(1+1)2=2，1 2
∴f（1）=2．（3分）
（2）∵f（1）=a+b+c=2，
对任意实数x都有f（x）≥2x，
即ax2+（b-2）x+c≥0恒成立，
∴
，a＞0 (b-2)2-4ac≤0
∴b-2=-（a+c），
∴[-（a+c）]2-4ac≤0，
即（a-c）2≤0，
∴a=c＞0，b=2-2a．（5分）
∵f(x)≤
(x+1)2，1 2
∴2f（x）≤（x+1）2，
即2[ax2+（2-2a）x+a]≤（x+1）2，
整理得 （2a-1）x2+（2-4a）x+2a-1≤0，
即（2a-1）（x-1）2≤0，
∵当0＜x＜2时，它恒成立，
∴0＜a≤
．1 2
∴f（-1）=a-b+c=4a-2的取值范围是（-2，0]．（10分）