问题
解答题
| 已知k为正常数，方程x2-kx+u=0有两个正数解x1，x2． （1）求实数u的取值范围； （2）求使不等式（
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答案
（1）由于方程x2-kx+u=0有两个正数解x1，x2．
所以
…（3分）解得0＜u≤△=k2-4u≥0 x1+x2=k＞0 x1x2=u＞0
，k2 4
即实数u的取值范围是（0，
]；…（6分）k2 4
（2）（
-x1） （1 x1
-x2）=x1x2+1 x2
-1 x1x2
=u-x12+x22 x1x2
+2．k2-1 u
令f （u）=u-
+2（u＞0），所以f′（u）=1+k2-1 u
，…（8分）k2-1 u
（i）若k≥1，因为0＜u≤
，所以f′（u）＞0，从而f （u）在（0，k2 4
]为增函数，所以k2 4
u-
+2≤f （k2-1 u
）=k2 4
-k2 4
+2=（k2-1 k2 4
-（k 2
）2，2 k
即（
-x1） （1 x1
-x2）≥（（1 x2
-（k 2
）2不恒成立．…（10分）2 k
（ii）若0＜k＜1，由f′（u）=1+
=0，得u=k2-1 u2
，1-k2
当u∈（0，
），f′（u）＜0；当u∈（1-k2
，+∞），f′（u）＞0，1-k2
所以函数f （u）在（0，
]上递减，在[1-k2
，+∞）上递增，…（12分）1-k2
要使函数f （u）在（0，
]上恒有f （u）≥f （k2 4
），必有k2 4
≥1-k2
，即k4+16 k2-16≤0，…（14分）k2 4
解得0＜k≤2
．综上，k的取值范围是（0，2
-25
]．…（16分）
-25