问题 解答题
已知k为正常数,方程x2-kx+u=0有两个正数解x1,x2
(1)求实数u的取值范围;
(2)求使不等式(
1
x1
-x1) (
1
x2
-x2)≥(
k
2
-
2
k
2恒成立的k的取值范围.
答案

(1)由于方程x2-kx+u=0有两个正数解x1,x2

所以

△=k2-4u≥0
x1+x2=k>0
x1x2=u>0
…(3分)解得0<u≤
k2
4

即实数u的取值范围是(0,

k2
4
];…(6分)

(2)(

1
x1
-x1) (
1
x2
-x2)=x1x2+
1
x1x2
-
x12+x22
x1x2
=u-
k2-1
u
+2.

令f (u)=u-

k2-1
u
+2(u>0),所以f′(u)=1+
k2-1
u
,…(8分)

(i)若k≥1,因为0<u≤

k2
4
,所以f′(u)>0,从而f (u)在(0,
k2
4
]为增函数,所以

u-

k2-1
u
+2≤f (
k2
4
)=
k2
4
-
k2-1
k2
4
+2=(
k
2
-(
2
k
2

即(

1
x1
-x1) (
1
x2
-x2)≥((
k
2
-(
2
k
2不恒成立.…(10分)

(ii)若0<k<1,由f′(u)=1+

k2-1
u2
=0,得u=
1-k2

当u∈(0,

1-k2
),f′(u)<0;当u∈(
1-k2
,+∞),f′(u)>0,

所以函数f (u)在(0,

1-k2
]上递减,在[
1-k2
,+∞)上递增,…(12分)

要使函数f (u)在(0,

k2
4
]上恒有f (u)≥f (
k2
4
),必有
1-k2
k2
4
,即k4+16 k2-16≤0,…(14分)

解得0<k≤2

5
-2
.综上,k的取值范围是(0,2
5
-2
].…(16分)

填空题
单项选择题

(三)阅读下面短文,回答下 * * 题。

1946年诞生的世界上第一台计算机,体积达90多立方米,重30多吨。后来有了半导体,造出了超大规模集成电路,使电子计算机体积大大减小了。但这种集成电路小型化已接近极限,要在这基础上提高其存储和运算速度也越来越难。

由于计算机最基本构件是开关元件,于是专家们设想,假若有机物分子也具备“开”“关”功能,岂不可以造出“有机物计算机”吗后来,科学家发现,半醌类有机化合物分子及蛋白质分子中的氢都具备“开”“关”这两种电态功能。因此,从理论上说,只要用半醌类有机化合物分子或蛋白质分子作元件,就能制造出“半醌型”或“蛋白质型”的计算机。人们把它们称为“生物计算机”或“分子计算机”。

生物计算机具有“半永久性”。它有许多优点:一是密集度可达现在集成电路的10万倍;二是运算速度可达半导体开关件的1000倍以上;三是这种由生物分子构成的“生物芯片”也同一般生物一样,具有“自我修复”功能,出了故障可“自我修复”,所以这种生物计算机可靠性高,经久耐用;四是生物元件是用化学能工作,所需能量甚少,不存在元件发热问题。

生物计算机的研制始于20世纪60~70年代。美国1983年11月召开了专门学术会议,对生物计算机的研制从理论到实践进行了深入探讨。 日本此项研究由“未来电子仪器科研协会”和通产省指导进行。英国也拨款3000万英镑用于生物计算机的研究开发。

目前,生物计算机的研制处于初始阶段,专家们预计,下世纪初叶,可望有突破性进展,并使数字电子计算机产生新的功能。无疑,生物计算机一旦问世,将是计算机科学领域的一次新的革命。

根据文义,文章最适合的题目是()。

A.“半永久性”的计算机

B.计算机科学的新革命

C.生物计算机的原理

D.未来的科技之花——生物计算机