问题
问答题
已知a＞0，函数f(x)=lnx-ax2，x＞0．f(x)的图象连续不断．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当
时，证明：存在x0∈(2，+∞)，使
；
(3)若存在α、β均属于区间[1，3]，且β-α≥1，使f(α)=f(β)，证明
．
答案
参考答案：
解：
，x∈(0，+∞)，
令f(x)=0，解得
．
当z蛮化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)的单调递增区间是
，f(x)的单调递减区间是
．
(2)证明：当
时，
.
由(1)知f(x)在(0，2)内单调递增，在(2，+∞)内单调递减．
令
．
由于f(x)在(0，2)内单调递增，故
，即g(2)＞0．
取
，则
．
所以存在x0∈(2，x′)，使g(x0)=0，
即存在x0∈(2，+∞)，使
．
(说明：x′的取法不唯一，只要满足x′＞2，且g(x′)＜0即可)
(3)证明：由f(α)=f(β)及(1)的结论知
，
从而f(x)在[α，β]上的最小值为f(α)．
又由β-α≥1，α，β∈[-1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．
故
即
从而
．