∵函数f（x）在R上是奇函数，f（cos2θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0

∴f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2）

∵y=f（x）是减函数，

∴cos2θ+2msinθ＜2m+2恒成立．

∴1-2sin²θ+2msinθ＜2m+2恒成立．

设t=sinθ∈[0，1]，等价于2t²-2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．

只要g（t）=2t²-2mt+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．

（1）当m＜0时，最小值为g（0）=2m+1≥0，所以可得：0＞m≥-

1

2

（2）当0≤m≤1时，最小值为g（

m

2

）=-

1

2

m²+2m+1≥0，所以可得：0≤m≤1

（3）当m＞1时，最小值为g（1）=2≥0恒成立，得：m＞1，

综之：m≥-

1

2

为所求的范围．

故答案为：m≥-

1

2

．