（I）当b=

2

3

时，函数F（x）为R上的连续函数，

∴

lim

x→2+

g(x)=

2+a

5

=f(2)=2

∴a=8

∵f′（x）=-x²+2x=-x（x-2）令f′（x）＞0，0＜x＜2

∴当x≤2时，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增．

又g(x)=

x+8

x2+1

，g′(x)=

-x2-16x+1

(x2+1)2

当x∈（2，+∞时，g′（x）＜0恒成立，

∴当x＞2时，函数g（x）在（2，+∞）上单调递减．

综上可知，函数F（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（-∞，0），（2，+∞）

（Ⅱ）对任意x₁，x₂∈[-1，2]，f（x₁）＜f（x₂）恒成立

g（x）_max＜f（x）_min，x∈[-1，2]

∵a=-1

∴g(x)=

x-1

x2+1

此时g′（x）＞0即-x²+2x+1＞0

∴1-

2

＜x＜1+

2

当x∈[-1，2]时，函数g（x）在[-1，1-

2

]上单调递减，在[1-

2

，2]上单调递增．

而g(-1)=-1，g(2)=

1

5

∴当x∈[-1，2]时，函数g（x）的最大值为g(2)=

1

5

．

结合（I）中函数f（x）的单调性可知：当x∈[-1，2]时，f（x）_min=f（0）=b

∴g（x）_max＜f（x）_min

∴b＞

1

5

即实数b的取值范围为b∈(

1

5

，+∞)