解（1）证：令h（x）=e^x-x-1，h'（x）=e^x-1，

令h'（x）＞0⇒e^x-1＞0⇒x＞0时f'（x）＞0；x＜0时，f'（x）＜0．∴f（x）_min=f（0）=0

∴h（x）≥h（0）=0即e^x≥x+1．

（2）∵g（x）是R上的奇函数

∴g（0）=0∴g（0）=ln（e⁰+a）=0

∴ln（1+a）=0∴a=0故g（x）=lne^x=x．

故讨论方程lnx=x•（x²-2ex+m）在x＞0的根的个数．

即

lnx

x

=x2-2ex+m在x＞0的根的个数．（m∈R）

令u(x)=

lnx

x

，v(x)=x2-2ex+m．

注意x＞0，方程根的个数即交点个数．

对u(x)=

lnx

x

，(x＞0)，u′(x)=

1 x •x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

，

令u'（x）=0，得x=e，

当x＞e时，u'（x）＜0；当0＜x＜e时，u'（x）＞0．

∴u(x)极大=u(e)=

1

e

，

当x→0⁺时，u(x)=

lnx

x

→-∞；

当x→+∞时，

lim

x→+∞

u(x)=

lim

x→+∞

lnx

x

=0，但此时u（x）＞0，此时以x轴为渐近线．

①当m-e2＞

1

e

即m＞e2+

1

e

时，方程无根；

②当m-e2=

1

e

即m=e2+

1

e

时，方程只有一个根．

③当m-e2＜

1

e

即m＜e2+

1

e

时，方程有两个根．

（3）由（1）知1+x≤e^x（x∈R），

令x=

-i

n

， i=1，2，，n-1，

∴1-

i

n

≤e-

i

n

，于是(1-

i

n

)n≤(e-

i

n

)n=e-i，i=1，2，，n-1，

∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n

n

)n=(1-

n-1

n

)n+(1-

n-2

n

)n+…+(1-

1

n

)n+1≤e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1+1=

1-e-(n-1)-1

1-e-1

=

1-e-n

1- 1 e

=

1- 1 en

1- 1 e

＜

1

1- 1 e

=

e

e-1

．