问题 解答题
已知函数f(x)=ex(e为自然对数的底数),g(x)=ln(f(x)+a)(a为常数),g(x)是实数集R上的奇函数.
(1)求证:f(x)≥x+1(x∈R);
(2)讨论关于x的方程:lng(x)=g(x)•(x2-2ex+m)(m∈R)的根的个数;
(3)设n∈N*,证明:(
1
n
)n+(
2
n
)n+(
3
n
)n+…+(
n
n
)n
e
e-1
(e为自然对数的底数).
答案

解(1)证:令h(x)=ex-x-1,h'(x)=ex-1,

令h'(x)>0⇒ex-1>0⇒x>0时f'(x)>0;x<0时,f'(x)<0.∴f(x)min=f(0)=0

∴h(x)≥h(0)=0即ex≥x+1.

(2)∵g(x)是R上的奇函数

∴g(0)=0∴g(0)=ln(e0+a)=0

∴ln(1+a)=0∴a=0故g(x)=lnex=x.

故讨论方程lnx=x•(x2-2ex+m)在x>0的根的个数.

lnx
x
=x2-2ex+m在x>0的根的个数.(m∈R)

u(x)=

lnx
x
,v(x)=x2-2ex+m.

注意x>0,方程根的个数即交点个数.

u(x)=

lnx
x
,(x>0),u′(x)=
1
x
•x-lnx
x2
=
1-lnx
x2

令u'(x)=0,得x=e,

当x>e时,u'(x)<0;当0<x<e时,u'(x)>0.

u(x)极大=u(e)=

1
e

当x→0+时,u(x)=

lnx
x
→-∞;

当x→+∞时,

lim
x→+∞
u(x)=
lim
x→+∞
lnx
x
=0,但此时u(x)>0,此时以x轴为渐近线.

①当m-e2

1
e
m>e2+
1
e
时,方程无根;

②当m-e2=

1
e
m=e2+
1
e
时,方程只有一个根.

③当m-e2

1
e
m<e2+
1
e
时,方程有两个根.

(3)由(1)知1+x≤ex(x∈R),

x=

-i
n
, i=1,2,,n-1,

1-

i
n
e-
i
n
,于是(1-
i
n
)n≤(e-
i
n
)n=e-i,i=1,2,,n-1

(

1
n
)n+(
2
n
)
n
+…+(
n
n
)
n
=(1-
n-1
n
)
n
+(1-
n-2
n
)
n
+…+(1-
1
n
)
n
+1e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1+1=
1-e-(n-1)-1
1-e-1
=
1-e-n
1-
1
e
=
1-
1
en
1-
1
e
1
1-
1
e
=
e
e-1

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