∵f(x)=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

=

3

a

（x+

a(a-1)

x

），

∴由双钩函数y=x+

m

x

（m＞0）在（-∞，-

m

]，[

m

，+∞）上单调递增，在[-

m

，0），（0，

m

]单调递减，可得：

①当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为(-

a(a-1)

，0)及(0，

a(a-1)

)，

②当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-

a(a-1)

)及(

a(a-1)

，+∞)；

又当0＜a＜1时，y=

3

a

x为R上的增函数，y=

3 (a-1)

x

为（-∞，0），（0，+∞）上的增函数，

∴③当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）及（0，+∞）；（6分）

（2）由题设及（1）中③知

a(a-1)

=

6

且a＞1，解得a=3，（9分）

因此函数解析式为f(x)=

3 x

3

+

2 3

x

（x≠0）．                     （10分）

（3）（理）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的对称轴，故可设l：y=kx（k≠0），且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，列式计算即可；

设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P'（p'，q'）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，由此得

q+q′

2

=k

p+p′

2

，

q-q′

p-p′

=-

1

k

，

且q=

p

3

+

2 3

p

，q′=

p′

3

+

2 3

p′

，（14分）

整理得k-

1

k

=

2

3

，解得k=

3

或k=-

3

3

，

所以存在直线y=

3

x及y=-

3

3

x为曲线C的对称轴．           （16分）

（文）该函数的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），曲线C的对称中心为（0，0），

因为对任意x∈D，f(-x)=-

3 x

a

+

3 (a-1)

-x

=-[

3 x

a

+

3 (a-1)

x

]=-f(x)，

所以该函数为奇函数，曲线C为中心对称图形．                    （10分）