问题
解答题
| 已知定义域为R的偶函数f（x）=ax+b•a-x（a＞0，a≠1，b∈R）． （1）求实数b的值； （2）判断并证明f（x）的单调性； （3）若f((log2x)2-log2x+1)≥f(m+log
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答案
（1）由题意可得，f（-x）=f（x），可得 a-x+b•ax =ax+b•a-x ，∴（b-1）（ax-a-x）=0，解得 b=1．…（3分）
（2）设0≤x1＜x2，∵f(x1)-f(x2)=(ax1+a-x1)-(ax2+a-x2)=(ax1-ax2)+(a-x1-a-x2)
=(ax1-ax2)+
=(ax1-ax2)(ax2-ax1 ax1+x2
)，ax1+x2-1 ax1+x2
当a＞1时，ax1-ax2＜0，ax1+x2＞1，可得f（x1）＜f（x2），故f（x）为[0，+∞）上的增函数．
当a＜1时，ax1-ax2＞0，ax1+x2＜1，可得f（x1）＜f（x2），f（x）为[0，+∞）上的增函数．
综上可得，当a＞0，a≠1时，f（x）为[0，+∞）上的增函数．…（7分）
（3）f((log2x)2-log2x+1)≥f(m+log
x2)对任意x∈[2，4]恒成立，等价于f((log2x)2-log2x+1)≥f(m-2log2x) 对任意x∈[2，4]恒成立，1 2
等价于 |(log2x)2-log2x+1|≥|m-2log2x| 对任意x∈[2，4]恒成立，
等价于-(log2x)2+log2x-1≤m-2log2x≤(log2x)2-log2x+1对任意x∈[2，4]恒成立．
令t=log2x，问题等价于-t2+3t-1≤m≤t2+t+1对任意t∈[1，2]恒成立．
由于函数-t2+3t-1在[1，2]上的最大值为
，t2+t+1在[1，2]上的最小值为 3，5 4
故问题等价于
≤m≤3，故实数m的取值范围为[5 4
，3]．…（12分）5 4
