问题
解答题
△ABC为不等边三角形．∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2，同样得到B1，B2，C1，C2．求证：A1A2=B1B2=C1C2．
答案
证明：连接A1B，A1C，过A1做A1F⊥AC于F，A1E⊥AB于E，
∵连接A1B、A1C，
∵AA1平分∠BAC，
∴A1E=A1F，
∵A1在BC的中垂线上，
∴A1B=A1C，
∵∠BEA1=∠CFA1=90°，
∴Rt△A1EB～Rt△A1FC，
∴∠ABA1=∠A1CF，
∵∠A1CF+∠ACA1=180°，
∴∠ABA1+∠ACA1=180°，
∴A、B、A1、C四点共圆，
同理A、A2、B、C四点共圆，
从而知A1、A2都在△ABC的外接圆上，
∵AA1平分∠BAC，AA2平分∠MAB，
∴∠A2AA1=
×180°=90°，1 2
∴A1A2是△ABC的外接圆的直径，
同理可证：B1B2、C1C2也是ABC的外接圆的直径，
∴A1A2=B1B2=C1C2．