给出一个不等式x2+1+cx2+c≥1+cc（x∈R）．经验证：当c=1，2，3

问题解答题

给出一个不等式

x2+1+c

x2+c

≥

1+c

（x∈R）．
经验证：当c=1，2，3时，对于x取一切实数，不等式都成立．
试问：当c取任何正数时，不等式对任何实数x是否都成立？若能成立，请给出证明；若不成立，请求出c的取值范围，使不等式对任何实数x都能成立．

答案

令f（x）=

x2+1+c

x2+c

，设u=

x2+c

（u≥

），则f（x）=

u2+1

=u+

（u≥

）．

∴f（x）-

c+1

=(u+

c+1

(u-

-1)

．

要使不等式成立，即f（x）-

c+1

≥0．

∵u≥

＞0，∴只须u

-1≥0，

∴u²c≥1，即 u²≥

，∴x²+c≥

，∴x²≥

-c．

故当

＞c 时，即 0＜c＜1原不等式不是对一切实数x都成立，即原不等式对一切实数x不都成立．

要使原不等式对一切实数x都成立，即使x²≥

-c对一切实数都成立．

∵x²≥0，故应有

-c≤0．

再由c＞0 可得，当c≥1时，原不等式对一切实数x都能成立．