参考答案：[详解] 由上面分析知，只要证明：A^TAx=0与Ax=0同解．
设α是Ax=0的解，即Aα=0，
∴A^TAα=0，即α也是A^TAx=0的解．
反之设β是A^TAx=0的解，即A^TAβ=0，
∴β^TA^TAβ=0，
∴(Aβ)^TAβ=0，
∴Aβ=0，
即β是Ax=0的解．
∴A^TAx=0与Ax=0同解．
∴r(A^TA)=r(A)．
同理可证r(AA^T)=r(A^T)．
∴r(A^TA)=r(AA^T)=r(A)=r(A^T)．

解析：

[分析]： 方程组Ax=0与方程组Bx=0同解[*]两个方程组有相同的基础解系[*]r(A)=r(B)．
[评注] Ax=0的基础解系解向量的个数S有公式：S=n-r(A)．由此可知两方程组同解必然它们系数矩阵的秩相等(反之不然)．